Fysikens matematiska metoder, 15 hp

Innehåll

Kursen är indelad i fyra moment.
Moment 1 (6,5 hp): Introduktion till differentialekvationer
I momentet behandlas första ordningens ordinära differentialekvationer (separabla ekvationer och integrerande faktor) och andra ordningens ordinära differentialekvationer (med variation av parameter). Dessutom ingår kvalitativ analys och begreppet fasplan, potensserielösningar, Laplacetransformen inklusive begreppen faltning och impulsfunktion. Vidare studeras lösning av linjära system av ordinära differentialekvationer med matrismetoder. Avslutningsvis ges en introduktion till lösning av partiella differentialekvationer med separation av variabler och Fourierserier.

Moment 2 (1 hp): Datorlaboration 1
Laboration som illustrerar begreppen samt visar på olika numeriska metoder att lösa ordinära differentialekvationer av de slag som ingår i kursen. I samband med datorlaborationen ges en introduktion till mjukvara för numerisk lösning av differentialekvationer

Moment 3 (6,5 hp): Fourieranalys med tillämpning på partiella differentialekvationer
Inledningsvis sker ett fördjupat studium av de komplexa talen, gammafunktionen och de elementära funktionerna samt deras inverser definierade i komplexa planet. Dessutom ges en kort orientering om begreppet analytisk funktion samt Cauchys sats med tillämpning på integralberäkning med hjälp av residykalkyl. För att motivera studiet av partiella differentialekvationer härleds några vanligt förekommande typer ur enkla fysikaliska principer. Ett viktigt verktyg är Fourierserieutveckling av funktioner. Fourierserier behandlas tämligen ingående och även frågor om olika typer av konvergens tas upp liksom tillämpningar på lösning av partiella differentialekvationer. Fourierserierna generaliseras sedan till utveckling av funktioner i allmänna ortogonala system och i samband med det studeras Hilbertrum och konvergens i norm. Teorin tillämpas på problem av Sturm-Liouville typ och allmänna randvärdesproblem för några viktiga klasser av partiella differentialekvationer. Några, i fysikaliska tillämpningar förekommande, system av ortogonala polynom behandlas relativt ingående. En grundlig genomgång av teorin för Fouriertransformen samt några av dess tillämpningar avslutar momentet.

Moment 4 (1 hp): Datorlaboration 2
Laborationen behandlar den viktiga finita elementmetoden för numerisk lösning av partiella differentialekvationer. Först visas hur lösningen byggs upp för det endimensionella fallet. Därefter studeras ett tillämpat problem för ett tvådimensionellt problem med hjälp av ett menybaserat system. I samband med laborationen ges en kort introduktion till finita elementmetoden.

Förväntade studieresultat

Moment 1:
För godkänd kurs ska den studerande kunna
• tillämpa metoderna i kursen för att lösa ordinära differentialekvationer av ordning ett och två
• redogöra för teorin för existens och entydighet för lösningar till ordinära differentialekvationer
• tillämpa metoder för att lösa linjära system av ordinära differentialekvationer
• tillämpa Laplacetransformen för att lösa ordinära differentialekvationer
• tillämpa ordinära differentialekvationer för att modellera enklare fysikaliska situationer, exempelvis blandningsproblem och mekanikproblem
• redogöra för och tillämpa variabelseparation för att lösa partiella differentialekvationer
• beräkna samt redogöra för egenskaper hos trigonometriska Fourierserier

Moment 2:
För godkänd kurs ska den studerande kunna
• använda givna datorprogram till att studera och analysera numeriska lösningar av differentialekvationer
• skriva och modifiera givna datorprogram för att lösa uppgifter
• redogöra skriftligt för lösningar av givna laborationsuppgifter

Moment 3:
För godkänd kurs ska den studerande kunna
• genomföra beräkningar med komplexa tal och komplexvärda funktioner inklusive gammafunktionen
• använda metoden med residykalkyl för att beräkna enklare typer av integraler
• Fourierserieutveckla funktioner och känna till olika typer av konvergens för dem
• redogöra grundläggande teori för Hilbertrum, symmetriska differentialoperatorer och deras egenfunktionsutvecklingar samt Sturm-Liouville problem
• använda teorin för egenfunktionsutvecklingar, metoden med separation av variabler och superpositionsprincipen på lösning av allmänna rand- och begynelsevärdesproblem för partiella differentialekvationer
• redogöra för, och använda vid problemlösning, egenskaper hos några system av ortogonala polynom
• redogöra för teorin för Fouriertransformen och kunna använda den vid lösning av partiella differentialekvationer

Moment 4:
För godkänd kurs ska den studerande kunna
• använda givna datorprogram till att studera och analysera numeriska lösningar av differentialekvationer
• skriva och modifiera givna datorprogram för att lösa givna uppgifter
• redogöra muntligt eller skriftligt för lösningar av givna laborationsuppgifter

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs 22,5 hp analys och minst 7,5 hp linjär algebra eller motsvarande kunskaper.

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar, lektionsundervisning och handledning vid datorlaborationer.

Examination

Examinationen på moment 1 och 3 sker i form av skriftliga prov. Moment 2 och 4 examineras genom skriftliga laborationsrapporter. På skriftliga prov ges något av omdömena Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan beröm godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5). På laborationsrapporter ges endast något av omdömena Underkänd (U) och Godkänd (G). För att bli godkänd på kursen krävs att samtliga prov och obligatoriska moment är godkända. På kursen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan beröm godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5) och beräknas som genomsnittet av omdömena på moment 1 och 3, vid behov avrundat uppåt.

Den som erhållit betyget godkänt på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten vid Institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

​Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås.

Övriga föreskrifter

I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektorn i matematik och matematisk statistik.