Avancerad algebra, 7,5 hp

Innehåll

Kursen behandlar flera olika områden inom algebra, med tonvikt på hur man effektivt och konstruktivt löser olika problem. Kursen bygger i dessa avseenden vidare på grundläggande teman i abstrakt algebra, och ett gemensamt tema är teorin för polynoms nollställen och faktorisering av polynom.

I kursens första del tittar vi på hur man kan multiplicera tal och polynom på sätt som är snabbare än den vanliga metoden. Vi går sedan igenom metoder för att multiplicera matriser som är effektivare än den naiva metoden. Efter dessa inledande steg så går vi över till att studera polynom, där vi undersöker hur man kan faktorisera ett reducibelt polynom effektivt och hitta rötter till polynomet. I kursens sista del så undersöker vi hur man kan hitta korta vektorer av heltal, när det finns villkor på hur de heltalen kan se ut, samt hur detta kopplar till teorin för polynom.

Förväntade studieresultat

För godkänd kurs ska den studerande kunna

Kunskap och förståelse

• definiera grundläggande typer av faktoriseringar av polynom
• definiera och klart redogöra för de begrepp som utgör den teoretiska grunden för Hensellyftning
• bevisa och ingående förklara centrala satser

Färdighet och förmåga

• tillämpa metoder för att faktorisera polynom över en ändlig kropp
• tillämpa faktorisering för att hitta ett polynoms nollställen över en kropp
• utföra multiplikation av matriser med Strassens metod
• utföra snabb multiplikation av polynom med Karatsubas metod
• avgöra om ett polynom är irreducibelt över en given ändlig kropp
• bestämma vilken dimension ett vektorlattice har
• avgöra om en latticebas är reducerad med hjälp av LLL-metoden

Värderingsförmåga och förhållningssätt

• utvärdera effektivitet hos behandlade metoder

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs 90 hp varav 60 hp inom ämnesområdet matematik inkluderande en kurs i algebraiska strukturer om minst 7,5 hp eller motsvarande kunskaper. Engelska A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar.

Examination

Examinationen på kursen sker genom skriftliga inlämningsuppgifter. På kursen sätts något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG).

Den som erhållit godkänt betyg på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkända vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås

Övriga föreskrifter

I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektor i matematik och matematisk statistik.