NYHET Matematikern Marie Frentz har utvecklat en metod för att med datorns hjälp kunna approximera lösningar till generaliseringar av den klassiska värmeledningsekvationen. Metoden har hon använt för att kunna prissätta optionskontrakt givet en förutbestämd felmarginal som inte får överskridas. Avhandlingen läggs fram vid Umeå universitet fredagen den 24 februari.
Värmeledningsekvationen beskriver hur temperaturen förändras över tid i materia som genomströmmas av ett värmeflöde. Ekvationen har fått sitt namn efter just denna tillämpning, men dess generaliseringar (subelliptiska paraboliska ekvationer) kan användas för att beskriva många olika förlopp. Marie Frentz har i sina studier intresserat sig för tillämpningar inom finanssektorn.
Om man använder den klassiska modellen för optionsprissättning så ges priset av en Europeisk option av värmeledningsekvationen. Centralt i prissättningsmodeller är volatiliteten, vilken beskriver hur mycket vi kan förvänta oss att aktiepriset kommer att avvika från en trend. Nackdelen med denna modell är att man har en konstant volatilitet och vi vet att aktiepriser fluktuerar mer under vissa perioder och mindre under andra.
Därför har ekonomer och matematiker utvecklat metoder som tar hänsyn till detta, en sådan modell är Hobson-Rogers modell. När en volatilitet som varierar introduceras så förändras ekvationen och blir mer komplicerad. Det är optionskontrakt i Hobson-Rogers modell som Marie Frentz har utvecklat en approximationsmetod för.
– Då det inte är möjligt att beräkna priset exakt måste man bestämma sig för hur stort fel man kan acceptera vid en uppskattning av det korrekta priset. Detta är möjligt att göra med min nya metod, säger Marie Frentz.
Hon utreder också frågor av grundforskningskaraktär i sin avhandling. Bland annat har hon studerat hinderproblemet, som till exempel använts för att beskriva tillväxten hos hjärntumörer och för att modellera istäcket på Antarktis. Hon visar att hinderproblemet för subelliptiska paraboliska ekvationer har en enda lösning och hon visar även på egenskaper som lösningen har.
Detta är något som är av betydelse om man vill lösa problem numeriskt med hjälp av en dator, eftersom man inte kan vara säker på att man hittat den lösning som är relevant för det specifika problem man undersöker om det finns flera olika lösningar (eller ingen lösning!). Här finns mycket forskning att göra innan resultaten är tillämpbara.
Lösningar till hinderproblem kan delas in i två faser; på en del av området kommer lösningen att uppfylla en ekvation, på den andra delen av området kommer lösningen istället att sammanfalla med ett hinder.
– På förhand vet man inte hur de två områdena ser ut och jag skulle vilja undersöka vad som händer med lösningar till hinderproblem i fasövergången. Det är via de resultaten som teorin kan tillämpas i praktiska sammanhang. Till exempel är det optimalt att lösa in amerikanska optioner i fasövergången.
Marie Frentz är uppvuxen i Gällivare. 1997 flyttade hon hemifrån för att läsa vid matematikgymnasiet i Danderyd och 2004 tog hon magisterexamen i matematik vid Umeå Universitet.
Bildtext: De ekvationer Marie Frentz studerar ger upphov till en annorlunda geometrisk struktur, bollen är ett exempel på hur det kan bli i denna geometriska struktur och föreställer en rund boll med radie 0.5.
Fredagen den 24 februari försvarar Marie Frentz, institutionen för matematik och matematisk statistik, sin avhandling med titeln: Topics on subelliptic parabolic equations structured on Hörmander vector fields. Svensk titel: Om subelliptiska paraboliska ekvationer konstruerade med Hörmander-vektorfält. Disputationen äger rum kl 13.00 i sal MA121, MIT-huset.
Fakultetsopponent är Professor Luca Capogna, University of Arkansas, Fayetteville, USA. Disputationen hålls på engelska.
http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:umu:diva-51604
Marie FrentzTelefon: 090-786 60 27
E-post: marie.frentz@math.umu.se
Pressbild:
Redaktör: Ingrid Söderbergh