Kvantfältteori i starka bakgrundsfält

De processer vi är intresserade av sker endast i extremt starka fält eller vid extremt hög intensitet, där ”hög” betyder mer än 10²⁰ gånger intensiteten hos en laserpekare. Under lång tid var det omöjligt att uppnå sådana intensiteter, men det håller nu på att bli möjligt tack vare utvecklingen av nya högintensiva laseranläggningar. Denna utveckling drivs delvis av praktiska tillämpningar, till exempel att använda sådana lasrar som kompakta partikelacceleratorer. Detta kommer också att möjliggöra forskning av outforskade områden inom den fundamentala fysiken. Men vi behöver utveckla bättre teoretiska metoder för att förbättra vår förmåga att utforma, förutsäga och analysera framtida experiment.

Standardmodellen för partikelfysik ger en lista över alla kända elementarpartiklar och en beskrivning av hur de interagerar. Teorin är formulerad i kvantfältteorins språk, vilket är en kombination av kvantmekanik och speciell relativitetsteori. I princip följer fasta tillståndets fysik, kemi, biologi osv. från Standardmodellen, men att känna till ingredienserna och reglerna i Standardmodellen innebär förstås inte att man vet hur man faktiskt härleder till exempel kemin. Som P. W. Anderson skrev: ”more is different”. När antalet partiklar ökar uppstår nya fenomen, och för att studera dem krävs nya metoder.

Den standardmetod som används i läroböcker om kvantfältteori är att göra en perturbativ (dvs. en Taylor-)utveckling i kopplingskonstanten. I princip kan en partikel vid ordning N interagera med N andra partiklar. För att studera interaktioner mellan många partiklar skulle man alltså behöva beräkna många ordningar i den perturbativa utvecklingen. Men det är inte praktiskt genomförbart – eller ens möjligt. Detta förklarar varför man inte kan använda kvantfältteori för att studera biologi. Men den perturbativa metoden bryter samman redan på en mycket lägre nivå, till exempel inuti högintensiva elektromagnetiska fält, där ett stort antal fotoner deltar i interaktionerna. Detta kan ses som ”bara” ett steg ovanför den mest fundamentala nivån. Men nya fenomen uppstår redan på denna nivå – fenomen som inte kan inträffa vid någon fast ordning i en perturbativ utveckling.

För att utforska sådana icke-perturbativa fenomen arbetar vi med två typer av icke-perturbativa metoder:

1. Kvantfältteori i den s.k. "Furry picture", där den totala Hamiltonoperatorn delas upp i en ”fri” och en interagerande del, så att den ”fria” delen exakt tar hänsyn till interaktionen med bakgrundsfältet. För att göra detta krävs den exakta lösningen till Dirac-ekvationen i bakgrundsfältet. Att hitta sådana lösningar är svårt, vilket tvingar en att överväga fält som endast beror på en rumtidskoordinat (t.ex. t+z). Detta angreppssätt använder fortfarande kvantfältteorins språk.
2. Världslinje-formalismen, där kvantfält ersätts av Feynmans linjeintegraler över partiklars världslinjer. En världslinje är en bana i rumtiden [t(τ), x(τ), y(τ), z(τ)] som är parametriserad med äkta tiden τ. Detta liknar världslinjer i klassisk elektrodynamik, med skillnaden att linjeintegralen är en summa över alla banor, inklusive både komplexa banor och sådana som går bakåt i tiden. Man skulle kunna tro att viss information går förlorad när man går från fält till världslinjer, men dessa två formuleringar är faktiskt ekvivalenta. Däremot gör worldline-formalismen det möjligt att studera realistiska fält som beror på alla fyra rumtidskoordinater, vilket man inte har kunnat göra med något fältbaserat angreppssätt.