Forskningsprojekt Numeriska semigrupper är speciella mängder av heltal med fascinerande egenskaper och kopplingar till talteori och kombinatorik. Vår forskning undersöker hur många sådana mängder som finns för ett givet antal luckor, vilka kallas genus, och hur deras struktur beter sig när genus växer. Målet är att utveckla algoritmer och beräkna semigrupper med ännu större genus för att kunna avslöja mönster som kan få betydelse för kryptografi, optimering och avancerad matematik.
Vi försöker räkna hur många numeriska semigrupper det finns för ett visst genus. Det är svårare än det låter – antalet växer snabbt, och hittills har man bara lyckats räkna upp till genus 75. Det finns också spännande mönster: man har upptäckt att tillväxten verkar följa gyllene snittet – samma proportion som dyker upp i naturen, konst och arkitektur! För att komma vidare utvecklar vi nu nya algoritmer och använder kraftfulla datorer detta.
En numerisk semigrupp är en delmängd S av N som innehåller 0, är sluten under addition och har ett ändligt komplement i N_0. Elementen i N_0 minus S kallas luckorna i den numeriska semigruppen. Den största luckan kallas Frobenius-talet och antalet luckor är genus g(S) för den numeriska semigruppen.
Det har gjorts många försök att beräkna sekvensen som räknar antalet numeriska semigrupper av genus g, och idag är sekvensvärdena kända upp till n75. (För en fullständig lista och mer information, klicka här.)
År 2007 framfördes en hypotes om att sekvensen är ökande, att varje term är minst summan av de två föregående termerna och att förhållandet mellan varje term och summan av de två föregående termerna närmar sig ett när genuset växer till oändligheten, vilket motsvarar en tillväxttakt som närmar sig det gyllene snittet. Den sista delen av hypotesen bevisades av Alex Zhai.
Den första icke-nolliga icke-gapet i en numerisk semigrupp kallas semigruppens multiplicitet, och det har bevisats att den är asymptotiskt nära g(S) gånger (5+sqrt(5))/10 när g(S) växer mot oändligheten. Det i:te hoppet är skillnaden mellan det i:te och det (i-1):te minsta icke-gapet. På detta sätt är multipliciteten det första hoppet.
Vi har utvecklat en ny algoritm för att utforska och räkna numeriska semigrupper av ett givet genus som använder den oförgrenade versionen av trädet av numeriska semigrupper. I detta projekt planerar vi att beräkna antalet numeriska semigrupper av genus större än 70. Vi kommer att studera det asymptotiska beteendet hos de första hopp. För detta behöver vi använda beräkningsresurser för att beräkna nödvändiga data och motsvarande statistik.
