Hoppa direkt till innehållet
printicon
Huvudmenyn dold.

Multiskal CutFEM för problem med mixade dimensioner

Forskningsprojekt finanierat av Vetenskapsrådet.

Vi ska utveckla nya metoder för modellering och simulering av heterogena material som beskrivs av ett tre dimensionellt område med inbäddade ytor som kan skära varandra i kurvor som i sin tur kan skära varandra i punkter.

Projektansvarig

Mats G Larson
Professor
E-post
E-post
Telefon
090-786 55 02

Projektöversikt

Projektperiod:

2022-01-01 2025-12-31

Medverkande institutioner och enheter vid Umeå universitet

Institutionen för matematik och matematisk statistik

Forskningsområde

Matematik

Externa finansiärer

Vetenskapsrådet

Projektbeskrivning

I takt med att tillgången till beräkningsresurser har ökat dramatiskt har betydelsen av datorbaserade metoder för att simulera olika fenomen ökat. Sådana metoder används av beslutsfattare för att studera scenarion och utvärdera alternativa lösningar och åtgärder.

I detta projekt utvecklar vi nya metoder för modellering och simulering av heterogena material som beskrivs av ett tre dimensionellt område med inbäddade ytor som kan skära varandra i kurvor som i sin tur kan skära varandra i punkter. Ytorna används för att modellera tunna skikt med speciella egenskaper som har en stor effekt på materialets övergripande egenskaper. Ett exempel är en spricka i marken som om den är tom verkar isolerande medan om den är vattenfylld verkar ledande.

Till varje yta associeras en partiell differentialekvation som beskriver fysiken på ytan till exempel dess ledningsegenskaper eller dess elastiska egenskaper. Dessa differentialekvationer kopplas sedan ihop genom vissa jämviktsvillkor. Sammantaget får vi ett system av ekvationer som vi vill lösa med hjälp av en dator. För att göra detta använder vi så kallade skurna finita elementmetoder. Dessa metoder delar in området i små delar som kallas element och på vilka lösningen kan approximeras med en enkel funktion såsom ett polynom. Skurna finita elementmetoder kan hantera element med en mer generell form än vanliga finita elementmetoder och de passar därför utmärkt att använda när vi har komplexa områden som skall delas upp i element, vilket ofta är fallet i praktiska tillämpningar.  Vi har i vårt tidigare arbete utvecklat skurna finita elementmetoder för enkla inbäddade ytor och baserat på dessa resultat fortsätter vi nu arbetet mot komplexa nätverk av ytor.

I projektet utvecklar vi först ett modelleringssystem för komplexa nätverk av inbäddade ytor som möjliggör effektiv modellering av praktiska tillämpningar. Därefter utvecklar vi adaptiva metoder som automatiskt bestämmer lämplig lokal storlek på elementen baserat på vissa beräkningsbara uppskattningar av felet, så kallade a posteriori feluppskattningar. Adaptivitet gör att vi kan utnyttja våra beräkningsresurser på ett nära optimalt sätt genom att använda små element där geometrin och lösningen är komplex och stora element där situationen är enklare.

Även med adaptivitet får vi till slut ett mycket stort ekvationssystem som måste lösas på ett effektivt sätt. Här utvecklar vi en ny metod som utnyttjar egenskaper från modelleringen av det heterogena materialet samt den skurna finita elementmetoden för att konstruera grovskaliga modeller som ger en grövre men ändå rimlig approximation av lösningen. Dessa grovskaliga modeller går snabbt att beräkna och kan användas för att iterativt lösa ekvationssystemet. Det är här viktigt att de grovskaliga modellerna innehåller tillräckligt mycket information om nätverket av ytor eftersom det har en stor effekt på lösningen. Detta kan vi garantera med hjälp av våra adaptiva algoritmer och beräkningsbara feluppskattningar.

Slutligen utvecklar vi så kallade multiskalmetoder för att modellera effekten av ytsegment som är så små och många att vi inte explicit kan representera dem. Istället gör vi lokala beräkningar med mycket hög upplösning för att se hur dessa påverkar lösningen och sedan använder vi den informationen i den globala modellen.

Målsättningen med projektet är att utveckla en ny metod för modellering och simulering av system med heterogena material som sätter en ny standard inom forskningsområdet och öppnar nya möjligheter för studier av komplexa problem inom till exempel utveckling av lättviktsmaterial och studier av lagring av energi samt koldioxid i marken.

Externa finansiärer