Kom igång med din process
Kanske är det snart dags att skriva ditt examensarbete? Här är några uppslag om du behöver inspiration när du ska välja uppsatsämne.
Kurser som du läst
Tänk tillbaka på vilka kurser du tidigare har läst. Var det något i någon kurs som du tyckte var särskilt intressant? Vi rekommenderar att du väljer ett ämne som ligger nära någon av de matematikkurser du läst på kandidatnivå (G2F), annars kan det bli svårt att nå det ämnesdjup som krävs.
Lärare eller forskare
Har du träffat på någon lärare eller forskare som du vill prata med för att diskutera möjliga examensarbeten?
Här hittar du en översikt över våra forskningsområden och tillhörande forskare.
Ämnesområden
Här är en rad intressanta uppslag till examensarbeten som du kan skriva hos oss.
Beräkningsmatematik
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Verksamma forskare inom beräkningsmatematik:
Differentialekvationer
Många grundläggande fysikaliska lagar kan formuleras som differentialekvationer. Inom samhällsvetenskap, mekanik, optimering, reglerteknik, ekonomi och biologi används ofta differentialekvationer eller system av differentialekvationer för att modellera beteendet hos komplicerade system.
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Exempel på möjliga kandidatexamensarbeten:
- Bestäm optimala produktionsstrategier, till exempel för vattenkraftverk
- Fiskestrategier och hur fiske påverkar stabilitet i populationer
- Analys av vibrationer i rotorsystem, exempelvis att undersöka dolt kaos i en Jeffcott-rotor med glapp
- p-Laplace ekvation och kopplingen till det stokastiska spelet Tug-of-war
- Finn begränsningar för tillväxt hos viskositetsundersökningar till ickelinjära PDE i obegränsade cylindrar
- Existens och entydighet för lösningar till system av PDE:s, relaterade till optimering
Du kan välja att fokusera på tillämpningen, den matematiska teorin eller både och.
Intresserad? Kontakta:
Diskret matematik
Geometri och kombinatorik
Ämnesområden för kandidatuppsatser:
- Geometri, i synnerhet geometrisk kombinatorik och projektiv geometri över ändliga kroppar
- Kombinatorik, i synnerhet grafer och andra kombinatoriska objekt såsom hypergrafer, simpliciala komplex, incidensgeometrier, matroider och latinska kvadrater
- Algebraiska verktyg inom geometri och kombinatorik
- Gruppteori, särskilt symmetrigrupper som verkar på diskreta och/eller geometriska objekt
- Kodteori, kryptografi och andra tillämpningar inom datavetenskap
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
- Algebraiska strukturer
- Introduktion till grafteori
- Komplex analys
- Matematisk introduktion till maskininlärning
- Talteori
- Topologi
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Diskret matematik
Ämnesområden för kandidatuppsater:
- Grafteori
- Design-teori
- Matematisk historia och filosofi
- Matematikens axiomatiska grund
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Skriva en presentation av Bruck-Ryser-Chowlas sats, med utvecklade definitioner, bevis, förklaringar och exempel
- Skriva en översikt över nuläget i det öppna problemet om existens av biplan
- Generera kompletta uppsättningar av olika kombinatoriska objekt med datorstöd
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Grafteori, diskretsannolikhetsteori, extremal kombinatorik
Jag kan handleda kandidat- och masterarbeten om bland annat:
- slumpgrafer
- extremal grafteori
- spel på grafer
- grafautomaton och grafprocesser
- extrema problem för hypergrafer och mängdsystem
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Extremal teori för multigrafer bortom Mubayi–Terry-konjekturen
- Maker–Breaker-spel på grafer
- Poset-Ramseyteori
- Spelet med poliser och tjuvar på slumpgrafer
- Skickliga (judicious) partitioner i grafer och hypergrafer
- Discrepancyteori för grafer
- Summfria mängder i kombinatorisk talteori och Cameron–Erdős-konjekturen
- Slumpmässiga snittgrafer (random intersection graphs)
- Nya framsteg kring konjekturen om unionstängda mängder
- Bootstrap-perkolation på slumpgrafer
- Solroskonjekturen
- Hypergrafbehållare (hypergraph containers)
- Vapnik–Chervonenkis-dimension (VC-dimension) för grafer
Listan ovan är inte uttömmande och ändras kontinuerligt beroende på mina aktuella forskningsintressen och de senaste framstegen inom extremal och probabilistisk kombinatorik.
Jag har alltid ett halvdussin konkreta förslag på möjliga examensarbeten. Om du är intresserad av något av de breda temana (eller något av projekten ovan), titta gärna in på mitt kontor för en pratstund eller skicka ett mejl. Då kan jag lättare identifiera 3–4 lämpliga projekt anpassade till din bakgrund och dina intressen, samt förklara mer i detalj vad varje projekt kan innebära.
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Grafteori, kombinatorik, diskret sannolikhet och optimering
Jag kan handleda projekt som antingen anknyter direkt till mina olika forskningsprojekt eller mer generellt ligger inom de områden av matematiken där jag främst bedriver forskning.
Några exempel på projektområden:
- Olika typer av grafteoretiska problem
- Hypergrafer och designteori
- Problem inom sannolikhetslära och slumpgrafer
- Matematisk fysik med kopplingar till antingen statistisk fysik eller kvantdatorer
- Algoritmer och beräkningskomplexitet
- Teorin för kombinatoriska spel. Det här omfattar både bakomliggande teori och algoritmer
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
- Algebraiska strukturer
- Introduktion till grafteori
- Matematisk introduktion till maskininlärning
- Talteori
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Kombinatorik
Jag kan handleda kandidat- och masterarbeten om bland annat:
- Extremal grafteori
- Ramsey-teori
- Kombinatorisk geometri
- Linjära algebraiska metoder inom kombinatorik
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Att hitta reguljära delgrafer (Erdős–Sauer-problemet)
- Ramseyteori för strukturerade graffamiljer (Erdős–Hajnal-konjekturen)
- Att hitta stora konvexa mängder bland punkter i allmän position (Erdős–Szekeres-konjekturen) och högdimensionella varianter
- Färgning av geometriska grafer
- Cap set-problemet och slice-rank-metoden
- Icke-noll linjära avbildningar (Alon–Jaeger–Tarsi-konjekturen) och täckning med hyperplan
Listan ovan visar olika ämnen inom kombinatorik som jag är intresserad av, och den är inte komplett. Jag är öppen för att diskutera andra projekt också. Den enda förutsättningen är att du har grundläggande förståelse för grafteori, kombinatorik och linjär algebra.
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Representationsteori och talteori
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Förslag på kandidat- eller masterexamensarbeten:
- Beräkningsprogram för nilpotenta banor (nilpotent orbits) i klassiska Lie grupper
- Integrering med p-adiska tal. För en underhållande introduktion till p-adiska tal se: https://youtu.be/3gyHKCDq1YA
- Översikt av klassificeringen av Lie algebror och Lie grupper
- Hur gittermodeller (lattice models) från statistisk mekanik beskriver speciella funktioner i representationsteori
- Representationer av gruppen GL(n), Young-tablåer och Kashiwara kristaller
- Fourierkoefficienter av automorfa former
- Lösbara gittermodeller och kvantgrupper
Många av förslagen är lämpliga för en blandning av mindre forskningsproblem och översikter av befintlig litteratur beroende på examensnivå (kandidat eller master) och personliga preferenser.
Intresserad? Kontakta:
Diskret matematik, spinnmodeller inom statistisk fysik
Några exempel på projektområden:
- Heltalsprogrammering
- Spinnmodeller i statistisk fysik (Fortuin-Kasteleyn, Ising/Potts)
- Kombinatoriska beräkningar
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Exempel på möjliga examensarbeten:
Följande ämnen kan ha antingen teoretiskt eller beräkningsmässigt fokus beroende på intresse:
- Skriv om en känd optimeringsmodell, till exempel lot-sizing, facility location, vehicle routing, knapsack/bin-packing, etc. Använd en generell lösare eller en specialiserad algoritm. Frågor kring komplexitet, intressanta specialfall eller möjliga utvidgningar av modellen kan behandlas.
- Skriv om Fortuin–Kasteleyns slumpklustermodell: fokusera antingen på teoretiska aspekter eller på numeriska experiment.
Intresserad? Kontakta:
Finansiell matematik och ekonomi
Ämnesområden för kandidatuppsatser:
- Matematisk modellering och prissättning av finansiella derivat
- Modellering av naturresurser och deras utvinning
- Finansiell riskhantering och försäkring
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Prissättning av exotiska finansiella derivat med hjälp av Monte Carlo-simulering
- Användning av dynamisk programmering för att bestämma optimal utvinning av naturresurser som mineraler, skog och fisk
- Matematisk modellering av principal-agentproblem, incitament, både statiskt och dynamiskt
Intresserad? Kontakta:
Komplex analys
Komplex analys är en mångfacetterad gren inom den matematiska analysen. Man kan säga att ämnet är spindeln i nätet för många grenar av den moderna matematiken. Starka kopplingar finns till allt från partiella differentialekvationer, algebra, geometri och topologi till talteori, relativitetsteori och kvantfysik.
I Umeå bedrivs framförallt forskning inom komplex analys i flera variabler, i synnerhet inom funktionsteori och pluripotentialteori. Ett examensarbete i komplex analys kan emellertid, beroende på ditt intresseområde och din bakgrund, ha flera olika inriktningar och nivåer.
Som examensarbetare i komplex analys blir du en naturlig medlem i forskargruppen och deltar i många av dess aktiviteter.
För att skriva examensarbete i komplex analys bör du vara intresserad av matematisk analys och gärna ha läst en eller flera av kurserna komplex analys, reell analys, tillämpad linjär analys, flervariabelanalys, differentialekvationer, och fysikens matematiska metoder.
Kurser med lämplig förkunskap för examensarbete:
För en diskussion om vilken sorts examensarbete som skulle passa just dig, kontakta Per Åhag eller Antti Perälä.
Huvudområde: Komplex analys
___________________________________
Huvudområden: Komplex analys och Operatorteori
Matematiska grunder för artificiell intelligens
Här kan du läsa om möjliga examensarbeten inom området matematiska grunder för artificiell intelligens. Längre ner hittar du kontaktuppgifter till forskare som är verksamma inom området. Kontakta gärna någon av dem eller besök deras personliga sida för mer information om potentiella uppsatsteman inom beräkningsmatematik.
Kurser med lämplig förkunskap för examensarbete:
- Introduktion till grafteori
- Kontinuerlig optimering
- Matematisk introduktion till maskininlärning
- Matematisk modellering
- Reell analys
Compressive sensing
Förkunskaper: Linjär algebra, sannolikhetsteori, optimering (ej nödvändigt), mått-teori (ej nödvändigt)
Compressive sensing är ett ramverk för att lösa underbestämda (bi)-linjära ekvationssystem under strukturantaganden. Metoderna kan användas praktiskt till att rekonstruera bilder från till exempel en väldigt liten del av deras Fourierspektrum. Algoritmerna inom ramverket kan ofta bara bevisas fungera för slumpmässiga instanser, vilket betyder att man behöver använda teori för slumpmatriser. Det finns även oändligdimensionala versioner av teorin.
Distribuerad och federerad optimering
Förkunskaper: Optimering
I internets tidsålder uppstår ofta situationer där många användare är kopplade till varandra, men inte kapabla (eller villiga) att skicka all sin information till varandra. Distribuerad och federarad optimering är ett ramverk för att utveckla metoder för sådana kluster av användare att optimera en gemensam funktion som de var för sig bara har begränsad tillgång till.
Ekvivarians och neurala nätverk
Förkunskaper: Linjär algebra, representationsteori (ej nödvändigt), Lie-grupper/-algebror (ej nödvändigt), maskinlärning (ej nödvändigt).
Ekvivarians är ett fint ord för att en function respekterar en symmetri. Inom geometrisk djupinlärning undersöker man hur neurala nätverk kan designas för att automatiskt respektera symmetrier.
Neurala differentialekvationer
Förkunskaper: Differentialekvationer, Lie-grupper/-algebror (ej nödvändigt).
Neurala differentialekvationer är ett ramverk för att modellera ‘oändligt djupa’ neurala nätverk genom dynamiska system. Några möjliga utvidgningar är att göra modellerna ekvivarianta med avseende på symmetrier, att betrakta partiella differentialekvationer och att undersöka kopplingar till fysikinspirerade modeller.
Operator splitting
Förkunskaper: Optimering
Många optimeringsproblem är av formen ‘minimera f(x) + g(x)’ , där f och g är två funktioner som har fundamentalt olika egenskaper (en kan vara slät och den andra icke deriverbar, till exempel). Operator splitting-metoder är algoritmer för att effektivt lösa sådana optimeringsproblem.
Kontakta:
Matematisk biologi
Kurser med lämplig förkunskap för examensarbete:
Ämnesområden för kandidatuppsatser:
- Differentialekvationsbaserade modeller av biologiska populationer
- Datorsimuleringar av evolutionen
- Rumsliga modeller för organismens tillväxt
- Nätverksmodeller för interaktioner
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Modellering av konkurrens och samarbete i mikrobiella populationer
- Simulering av en organisms tillväxt och utveckling enligt olika program i olika miljöer
- Tillämpning av fysik- eller ekonomibaserade begrepp på mikrobiella populationer
För mer information, kontakta:
Matematisk modellering med tillämpningar
Matematiska modeller och statistiska metoder används i många olika områden för att hjälpa till vid beslutsfattande. Genom att titta närmare på de matematiska egenskaperna hos modellerna kan vi få en djupare förståelse för de system som modellerna beskriver. Det gör inte bara att vi lär oss mer, utan också att modellerna fungerar bättre när de används i verkliga situationer.
Kurser med lämplig förkunskap för examensarbete:
Ämnesområden för kandidatuppsatser:
- Transportmodellering
- Godsflödesmodellering, logistik och optimering av transportnätverk
- Diskret händelsesimulering
- Egenskaper hos ekonomiska modeller för rumsliga interaktioner (SCGE, NEG m.fl.)
Exempel på möjliga examensarbeten:
- Praktiska och teoretiska tillämpningar av Traveling Salesman Problem (TSP),
- Vehicle Routing Problems (VRP) och Multi-Commodity Flow Problems (MCFP)
- Heuristiska metoder för nätverksdesign inom regional luftfart
- Diskret händelsesimulering av prehospital vård
- Analys av förekomst av multipla jämvikter och bifurkationer i en Spatial
- Computational General Equilibrium-modell under tilltagande skalavkastning
För mer information, kontakta:
Matematisk statistik
Biostatistik och bioinformatik
Inom medicinsk forskning är det intressant att jämföra skillnader mellan sjuka och friska personer. Vad händer med genaktiviteten hos patienter som drabbas av stroke eller diabetes, eller blir deprimerade? Vilka skillnader finns det på proteinnivå mellan cancerceller och friska celler? Hur skiljer sig genomen hos virulenta och icke-virulenta bakteriestammar?
Nya tekniker har genererat enorma mängder biologisk information. Utmaningen ligger i att analysera dessa data på ett sådant sätt att vi kan besvara de relevanta biologiska och medicinska frågeställningarna. För det behövs det kunskaper inom matematik, statistik och datavetenskap, men också ett nära samarbete med medicinare och biologer. Alla examensarbetare kommer att få samarbeta med biologer och medicinare, vilket är en spännande möjlighet att ta del av nya perspektiv och expertis.
Intresserad? Kontakta:
___________________________________
Tidsserieanalys/Stokastiska processer
Kontakta:
Reell analys och differentialgeometri med tillämpningar
Kurser med lämplig förkunskap för kandidatuppsatser:
Några exempel på projektområden: Geometri, analys, partiella differentialekvationer, signalbehandling, optimal transport
Det mest spännande med matematik är hur den skapar oväntade kopplingar mellan till synes helt olika områden. De flesta av mina kandidatarbeten och masterprojekt ligger i skärningspunkten mellan analys och geometri, eller mellan analys och tillämpad matematik. Projekten börjar ofta i optimal transport – ett ramverk från 1700-talet för att på ett effektivt sätt transportera massa eller modellera flöden av partiklar – och landar sedan i någon av dess många tillämpningar.
Intresserad? Kontakta:
